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By A.K. Boiarchuk ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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Si el conjunto de factores nulos es infinito, se dice que el producto infinito es divergente. Conforme a las definiciones presentadas, para investigar la convergencia de un producto infinito basta analizar el producto infinito de los factores distintos de cero. Evidentemente, para la convergencia del producto infinito (1) es necesario que lim zn = 0. En efecto, n—*oo Pn lim (1 -f zn) = lim — — n-»oo »->oo Jrn_i por consiguiente, zn 0. P P i; Teorema 1 (de convergencia del producto infinito y de la serie numérica correspondiente).

Af\o) , Z < -J k fc=0 y/z€Kj. V Hagamos W =£ Jfe=0 " V *• Entonces 19i{z) - Pj{z)\ < La serie - VzeKj. converge uniformemente en todo compacto # C € en el sentido de la definición dada anteriormente. En efecto, VÜTCCBÍVÉN: Vn ^ N K C Kn = {z € C: |z| < # „ | } . Examinemos ahora la serie ^ ( f l j - Pj), j > Sus términos son funciones analíticas en K mayoradas por la _ 1 progresión geométrica ¿ J ¿J> i ^ N - P o r consiguiente, su suma es una función analítica en el círculo K . Definamos la función / mediante la fórmula N-1 >=i Demostración.

Teniendo en cuenta la condición 1 fc=i V {n ^ n€, p € N) obtenemos « n ,. n+p . es decir, la sucesión (P n ) es uniformemente fundamental ' el producto infinito flCl + /„) converge uniformemente en L región G. 3. Representación de una función entera mediante un producto infinito Sea (an) una sucesión tal que los módulos de sus térmi nos forman una sucesión no decreciente. Supongamos qut a« = a„ 0, y que un número finito de an pueder ser iguales. p i:; Consideremos el producto infinito x exp 4* • - • IYaY"!

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