By Martin Goldstern

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Additional resources for Algebra, WS 2009

Example text

A∗ ist homomorphes Bild von A). Gilt mit geeigneten Termen t1 , t2 in A eine Gleichung (ein Gesetz) ∀a, b, c, . . : t1 (a, b, c, . ) = t2 (a, b, c, . ), so ist wegen t1 (f (a), f (b), f (c), . ) = f (t1 (a, b, c, . )) = f (t2 (a, b, c, . )) = t2 (f (a), f (b), f (c), . ) das Gesetz auch in A∗ g¨ ultig. Die Terme sind dabei aus endlich vielen Variablen und Operationssymbolen (f¨ ur A bzw. A∗ ) aufgebaut. 8 Anmerkung. Ist (A, (ωi )i∈I ) Algebra, so nennt man (ωi )i∈I die fundamentalen Operationen, Terme dagegen abgeleitete Operationen.

4) Operation ·: a1 ≡ b1 mod n und a2 ≡ b2 mod n ⇒ a1 = b1 + c1 n und a2 = b2 + c2 n ⇒ a1 a2 = b1 b2 + (b1 c2 + b2 c1 + c1 c2 n)n ⇒ a1 a2 ≡ b1 b2 mod n. Zugeh¨orige Klasseneinteilung: Es ist [a] = {a + kn | k ∈ Z}. F¨ ur n = 0 gilt [a] = {a} f¨ ur alle a ∈ Z (≡ mod n ist dann die Gleichheitsrelation). F¨ ur n = 0 gilt: Zn := Z/ ≡ mod n = {[a] | a ∈ Z} = {[0], . . , [n − 1]}. 13 Satz. Sei A = (A, (ωi )i∈I ) eine Algebra und π eine Kongruenz auf A. Dann sind durch ωi∗ [a1 ]π . . [ani ]π := [ωi a1 .

Sei (R, +, 0, −, ·) ein Ring. a) Ist π eine Kongruenz auf R, dann ist I := [0]π ein Ideal von R, und es gilt: R/π = R/I = {x + I | x ∈ R}. b) Ist I Ideal von R und π definiert durch xπy :⇔ y − x ∈ I, x, y ∈ R, dann ist π Kongruenz auf R und [0]π = I. c) π → [0]π definiert eine bijektive Abbildung von der Menge aller Kongruenzen auf R auf die Menge aller Ideale von R. Die Umkehrabbildung ist definiert durch I → π gem¨ aß b). Beweis. a) i ∈ I und r ∈ R ⇒ iπ0 und rπr ⇒ irπ0r = 0 und riπr0 = 0 ⇒ ir, ri ∈ I.